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Bandit:一种简单而强大的在线学习算法

假设我有5枚硬币,都是正反面不均匀的。我们玩一个游戏,每次你可以选择其中一枚硬币掷出,如果掷出正面,你将得到一百块奖励。掷硬币的次数有限(比如10000次),显然,如果要拿到最多的利益,你要做的就是尽快找出“正面概率最大”的硬币,然后就拿它赚钱了。

这个问题看起来很数学化,其实它在我们的生活中经常遇见。比如我们现在有很多在线场景,遇到一个相同的问题:一个平台这么多信息,该展示什么给用户,才能有最好的收益(比如点击率)?

Google作为最大的搜索广告公司,在用户搜索时该展示什么广告;Facebook作为社交平台,当用户好友过载的时候,该怎么组织好友的说说(把你最感兴趣的放前面);Taobao有海量的商品池子,该如何捞取用户最容易剁手的商品展示出来?

一切通过数据收集而得到的概率预估任务,都能通过Bandit系列算法来进行在线优化。这里的“在线”,指的不是互联网意义上的线上,而是只算法模型参数根据观察数据不断演变。

Bandit算法的创造其实来源于人类的经验,这个算法框架包含两个部分,一是探索未知(explore),二是利用已知(exploit)。一部分精力做探索(不考虑曾经的经验),一部分精力做采集(利用已知的最好策略)。

How Bandit

首先来看看Bandit的概率原理,我们希望知道每一个硬币“正面”的概率 $p_i$ 。事实上我们能观察到的,只是这个硬币正面的频率

怎么利用起观察到的频率,来最好地预估真实的概率呢?下面介绍4种策略,分别是随机(Random)、简单观察(Naive)、ε-贪心法(ε-Greedy)、置信上限法(UCB)。

Random

每次随机选择一枚硬币进行投掷。如果不能胜过这个策略,就不必玩了。

Naive

先给每个硬币一定次数的尝试,比如每个硬币掷10次,根据每个硬币正面朝上的次数,选择正面频率最高的那个硬币,作为最佳策略。这也是大多人能想到的方法。

但是这个策略有几个明显问题:

  1. 10次尝试真的靠谱吗?最差的硬币也有可能在这10次内有高于最好硬币的正面次数。
  2. 假设你选到的这个硬币在投掷次数多了后发生了问题(比如掉屑),改变了其属性,导致其正面的概率大大降低,如果你还死守着它,那不是吃大亏了?(这是对变量的考虑)
  3. 就算你给一个硬币10次机会,如果硬币真的很多,比如$K>100$,给每个硬币10次机会是不是也太浪费了呢?等所有硬币都尝试过,再回来“赚钱”,花儿都谢了!

ε-Greedy

有了前两个垫背,可以开始让Bandit登场了。ε-Greedy就是一种很机智的Bandit算法:它让每次机会以ε的概率去“探索”,1-ε的概率来“开发”。也即,如果一次机会落入ε中,则随机选择一个硬币来投掷,否则就选择先前探索到正面概率最大的硬币。这个策略有两个好处:

  1. 它能够应对变化,如果硬币“变质”了,它也能及时改变策略。
  2. ε-Greedy机制让玩的过程更有趣,有时“探索”,有时“赚钱”。

在此基础上,又能引申出很多值得研究的问题,比如ε应该如何设定呢?它应不应该随着时间而变?因为随着探索次数的增多,好的选择自然浮现得比较明显了。ε大则使得模型有更大的灵活性(能更快的探索到未知,适应变化),ε小则会有更好的稳定性(有更多机会去“开发”)。

UCB

在统计学中,对于一个未知量的估计,总能找到一种量化其置信度的方法。最普遍的分布正态分布(或曰高斯分布)$N(\mu ,\delta )$,其中的E就是估计量的期望,而$\delta$则表示其不确定性($\delta$越大则表示越不可信)。比如你掷一个标准的6面色子,它的平均值是3.5,而如果你只掷一次,比如说到2,那你对平均值的估计只能是2,但是这个置信度应该很低,我们可以知道,这个色子的预估平均值是2,而以95%的置信区间在[1.4,5.2]。

UCB(Upper Confidence Bound - 置信上限)就是以均值的置信上限为来代表它的预估值:

上面是一个例子,其中$\mu_i$是对期望的预估,$n_i$是尝试次数,可以看到对$i$的尝试越多,其预估值与置信上限的差值就越小。也就是越有置信度。

这个策略的好处是,能让没有机会尝试的硬币得到更多尝试的机会,是骡子是马拉出来溜溜!将整个探索+开发的过程融合到一个公式里面,很完美!

模拟结果

将这几个策略做一下模拟,取K=5个硬币,每次10000轮投掷机会,跑100次取平均。得到结果如下:

  1. 随机:每次随机取一枚硬币投掷
  2. 简单观察:先给每个硬币100次机会,然后以正面概率最大的硬币为策略。
  3. ε-Greedy:取$\epsilon=0.01$进行探索,$1-ε$进行开发。
  4. UCB1:以$(1 - 1/t)$的上限进行探索
  5. UCB-95%:取95%的置信区间进行探索

bandit_simulation

上图以累积后悔(Cumulative Expected Regret)来作为评估指标,横坐标是投掷次序,纵坐标是累积后悔(取对数)。后悔最小的算法最好。Regret定义如下:

可以看出,随机的效果最烂,Naive算法在前K*100轮跟随机效果一样烂(因为在收集数据,没有开始利用)。ε-Greedy的收敛效果好,但因为有那ε的浪费,到最后还是跟Naive一样浪费了很多机会。UCB的表现最好,收敛快、花费小!

这里只是模拟了固定概率下这些算法的表现,如果预估量(正面概率)是一个会变的量,这些算法的表现会重新洗牌吗?后续可以探索下!

Bandit application

说了这么多掷硬币,这个算法在真实世界有什么大展身手的地方呢?小列一些:

附1:参考链接

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